Union-find: алгоритм, применение и анализ сложности

Английский поэт алгоритмы программирования Джефри Чосер в поэме «Книга герцогини» (1369 г.) пишет, что даже «славный счетчик Аргус» (noble countour Argu) не сможет счесть чудовищ, явившихся в кошмарных видениях герою. Поэтому возьмем за основу представление об алгоритме как описании некоторого вычислительного процесса, а далее введем некоторые уточнения. Тем не менее, иллюстрацией нам часто будут служить примеры невычислительного характера, не связанные напрямую с компьютерной обработкой информации, за что читатель, надеюсь, нас не осудит.

Предметно-ориентированные языки программирования, Мартин Фаулер

Поэтому верхняя оценка сложности операций union и connected — O(N). Поскольку элементов в структуре данных может быть много, существует необходимость разработки эффективного алгоритма для выполнения операций над множествами. Для сравнения эффективности алгоритмов используют верхнюю оценку вычислительной сложности O(f(N)), которая оценивает наихудший по времени вариант выполнения алгоритма. Такую структуру данных, где элементы распределены на непересекающиеся множества, называют системой непересекающихся множеств (union-find data structure).

Термины: Алгоритмы и теория алгоритмов

• В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу.
• Данные темы будут рассматриваться в пересечении, а полный цикл – итеративно повторятся углубляясь в теорию и сложность.
• При этом полагаем, что заявки упорядочены в порядке возрастания времени окончания.
• Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo).
• Без них не обойтись, они есть везде — от сетевой маршрутизации и расчетов по геномике до криптографии и машинного обучения.

Но прошло не одно столетие, прежде чем новый способ счета окончательно утвердился, столько времени потребовалось, чтобы выработать общепризнанные обозначения, усовершенствовать и приспособить к записи на бумаге методы вычислений. В Западной Европе учителей арифметики вплоть до XVII века продолжали называть «магистрами абака», как, например, математика Никколо Тарталью (1500—1557). Алгоритм (лат. algorithmi — от арабского имени математика Аль-Хорезми ) — это конечная совокупность точно заданных правил решения произвольного класса задач или набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для решения некоторой задачи. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители.

Совершенный алгоритм. Жадные алгоритмы и динамическое программирование

Но такое значение не было единственным, ведь терминология математической науки в те времена еще только формировалась. В частности, выражение algorithmus infinitesimalis применялось к способам выполнения действий с бесконечно малыми величинами. Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo).

Доказательство сложности log(N)

Машина Тьюринга — это абстрактная машина (автомат), работающая с лентой отдельных ячеек, в которых записаны символы. Машина также имеет головку для записи и чтения символов из ячеек, которая может двигаться вдоль ленты. На каждом шаге машина считывает символ из ячейки, на которую указывает головка, и, на основе считанного символа и внутреннего состояния, делает следующий шаг.

Параллельное и распределенное программирование с использованием С++, Камерон Хьюз, Трейси Хьюз

Очевидно и то, что в большинстве программ можно выделить некоторые последовательности действий, которые можно разбить на независимые действия и выполнять их параллельно. Просто Disjoint Sets воспринимается как математическая концепция (непересекающиеся множества), поэтому, чтобы указать на конкретную структуру данных и алгоритм, добавляют Union-Find. Оказывается, что при таком подходе высота самого высокого дерева будет не более log(N), или, другими словами, ранг любого узла дерева не превышает log(N).

Предметно-ориентированное проектирование (DDD). Структуризация сложных программных систем, Эрик Эванс

По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий с ними постепенно распространялось на Руси. Полное название этого учебника — «Сия книга, глаголемая по-еллински и по-гречески арифметика, а по-немецки алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». Около 1250 года английский астроном и математик Иоанн Сакробоско написал труд по арифметике Algorismus vulgaris, на столетия ставший основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах. Во введении Сакробоско назвал автором науки о счете мудреца по имени Алгус (Algus). А в популярной средневековой поэме «Роман о Розе» (1275—1280) Жана де Мена «греческий философ Алгус» ставится в один ряд с Платоном, Аристотелем, Евклидом и Птолемеем! И хотя, согласно древнегреческой мифологии, корабль «Арго» был построен Ясоном, именно этому Арго приписывалось строительство корабля.

Для написания кода, как правило, используется латинский алфавит. Поэтому для тех, кто обладает уверенными знаниями в английском, имеет смысл сразу начать изучать книги по программированию на английском языке. Эффективность программы определяется эффективностью алгоритма, положенного в основу программы, и эффективностью его реализации. Очевидно, что существует масса последовательных алгоритмов, так как алгоритм но своей природе – последовательность действий.

Альтернативой излишней краткости могут стать дополнительные комментарии. Итак, условимся, что форма записи алгоритма – формат и его содержание – отнюдь не произвольны, а подчинены вполне определенным ограничениям. Нередко, в целях экономии, сочетание “описание вычислительного процесса” мы будем заменять коротким “процесс”, что не должно вводить читателя в заблуждение. В самом деле, мы чаще будем только конструировать алгоритмы, вовсе не стремясь тут же их применить. Кроме того, если алгоритм – это описание процесса, то способ представления алгоритма – это “описание описания процесса”. Junior Web/Software DevelopersВы будете тратить ≈10 часов в неделю на самостоятельную практику и решать сложные задачи с использованием 5 основных видов алгоритмов.

Около 825 года он написал сочинение Китаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о сложении и вычитании»), из оригинального названия которого происходит слово «алгебра» (аль-джебр — восполнение). В этой книге впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские ученые. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу.

Предыдущий алгоритм довольно прост как в реализации, так и в оценке сложности, однако такая структура данных недостаточно оптимальна. Рассмотрим, как мы сможем определить связи между элементами в виде деревьев. Чтобы выполнить операцию union, необходимо пройтись по всему массиву и заменить представителя одного множества представителем другого, объединив таким образом элементы двух множеств. Говорят, что задача обладает свойством оптимальности для подзадач, если оптимальное решение задачи содержит в себе оптимальные решения для всех ее подзадач. Например, в задаче о выборе заявок можно заметить, что если — оптимальный набор заявок, содержащий заявку номер 1, то — оптимальный набор заявок для меньшего множества заявок , состоящего из тех заявок, для которых . Нормально вычислимой называют функцию, которую можно реализовать нормальным алгоритмом.

Современное формальное определение вычислительного алгоритма было дано в 30—50-е годы XX века в работах Тьюринга, Поста, Черча (тезис Черча — Тьюринга), Н. При всем многообразии способов записи алгоритма мы отдаем предпочтение “первичной” форме, а именно, словесному описанию. Разумеется, в этом варианте также прибегают к ряду обозначений, обычно вполне очевидных, в частности, – явной нумерации шагов.

Звучит угрожающе, однако, по моему мнению, это очень наглядное и изящное применение данного алгоритма. Не стоит забывать, что обозначение O(f(N)) показывает верхнюю оценку сложности, то есть мы всегда рассматриваем худший по времени вариант выполнения алгоритма. Две раскраски жадным алгоритмом одного и того же графа, в которых используется различный порядок прохода вершин.

Элементы, имеющие общие характеристики, объединяются в множества, как, например, пользователи социальной сети, подписанные на определенное сообщество, или города, которые связаны общими дорогами. Даже не имея связей, элемент образует множество, состоящее из самого себя, — синглтон. Тем не менее, в ряде задач жадные алгоритмы дают неплохие приближенные решения. Жадные алгоритмы это такие алгоритмы, которые стремятся сделать оптимальный выбор в каждый момент времени. На каждом шагу выбирается лучший выбор, не задумываясь о будущем. Если глобальная оптимальность алгоритма имеет место практически всегда, его обычно предпочитают другим методам оптимизации, таким как динамическое программирование.

Они не смотрят в будущее, чтобы выбрать глобальное оптимальное решение. Но общее оптимальное решение может отличаться от решения, которое выбирает алгоритм на каждом шаге своей работы. Так же они никогда не оглядываются назад на то, что сделали, чтобы понять, нужна ли глобальная оптимизация. В этом главное отличие жадного и динамического программирования. Жадный алгоритм — алгоритм, заключающийся в принятии локально оптимальных решений на каждом этапе, допуская, что конечное решение также окажется оптимальным.

IT курсы онлайн от лучших специалистов в своей отросли https://deveducation.com/ here.